مثلثات فيثاغورس المشهورة .. المثلثات المشهورة سنتعرف فى هذا المقال على نظرية فيثاغورس الرياضية التى تتعلق بالمثلثات قائمة الزاوية ، والتى تتضمن فى استخدامها عملية حساب الأسس والجذور التربيعية ، وإليكم المزيد من التفاصيل حول هذه المثلثات مع الأمثلة ، فتابعوا معنا
اقرأ المزيد عن
سوف نتعرف فى المقال على مثلثات فيثاغورس المشهورة
مثلثات فيثاغورس المشهورة ، المثلثات المشهورة
هى علاقة فى الهندسة بين الأطراف الثلاثة فى المثلث قائم الزاوية ، وتنص على أن مربع الوتر فى الجانب المقابل للزاوية اليمنى يساوى مجموعة مربعات الجانبين الأخرين ، والتى أطلق عليها نظرية فيثاغورس ، وتعتبر واحدة من أقدم النظرية المعروفة للحضارات القديمة ، وقد تم تسميتها نسبة للعالم الرياضى والفيلسوف اليونانى فيثاغورس ، وتعتبر هذه النظرية من أشهر إسهاماته فى علم الرياضيات ، كما أسس فيثاغورس مدرسته للرياضيات فى منطقة كوروتونا جنوب إيطاليا ، ومن الجدير بالذكر أن هذه النظرية تستخدم بشكل علمى فى العديد من المجالات المختلفة .
نص قانون نظرية فيثاغورس
ينص قانون نظرية فيثاغورس على ” أن مجموع مربعى طولى ضلعى القائمة ، وهما الضلعين الأقصر فى المثلث قائم الزاوية مساو لمربع طول الوتر وهو الضلع الأطول فى المثلث ” وتتمثل نظرية فيثاغورس بالرموز كما يلى : أ² + ب ² = ج ² ، مع العلم أن أ ، ب هما ضلعا المثلث قائم الزاوية ، وج هى وتر المثلث القائم ، والضلع الأطول فيه ، كما يمكننا القول أن عكس النظرية أيضا صحيح ، حيث أن المثلث الذى تنطبق علية نظرية فيثاغورس وهو بالضرورة مثث قائم الزاوية .
قد يفيدك أن تقرأ عن
أهمية نظرية فيثاغورس
لنظرية فيثاغورس العديد من الإستخدامات الهامة ، والتى تتمثل فى النقاط الأتية :
- توضح شكل ونوع المثلث ، فعندما يكون مربع الور يساوى مجموع مربعى الضلعين الأخرين فيكون مثلث قائم ، وعندما يكون مربع الوتر أطزل من مربع الضلعين الأخرين يكون المثلث منفرج ، أما إذا كان مربع الوتر أقل من مربع الضلعين الأخرين يكون المثلث حاد الزاوية .
- تساعد النظرية فى حساب أطوال الأضلاع المخفية ، وليس فقط فى المثلثات وإنما المربعات والمستطيلات أيضا
- بمساعدة هذه النظرية يحافظ البناؤون على القياسات الصحيحة للزوايا فى بناء المنازل والمبانى .
إثبات نظرية فيثاغورس
يمكن إثبات هذه النظرية بعدد لا نهائى من البراهين ، وقد نشر إليشا سكوت لوميس عالم الرياضيات فرضية فيثاغورس عام 1927م ، والذى قدم حوالى 370 برهان مختلف للنظرية مصنفة فى أربعة أقسام رئيسية والتى تتمثل في :
- قسم الجبر الذى يربط جوانب المثلث
- قسم الهندسة الذى يقارن بين المساحات
- قسم الحركية أو الديناميكية الذى يرتبط بخصائ القوة والكتلة
- المتجهات
ومن الجدير بالذكر أنه يتم إثبات نظرية فيثاغورس بشكل هندسي كما يلى :
نفترض أن هناك مربع تقع به النقاط ( د ، هـ ، و ، ى ) على أضلاعه الأربعة ، وتقسم كل نقطة منها الضلع لقسمين أ ، ب ، ونصل بين هذه النقاط بخطوط مستقيمة ليكون مربع فى الداخل طول ضلعه (ج) وأربعة مثلثات داخلية قائمة الزاوية وترها هو (ج) وطول ضلعهما أ ، ب ، لينتج طول الضلع للمربع الخارجى ( أ + ب) ، كما يمكن التعبير عن مساحة المربع الخارجى بالقيمة ( أ + ب ) ² ، والتى تساوى مساحة المثلثات الأربعة الداخلية للمربع ويمكن حسابه : 4 × ( ½ × طول القاعدة × الإرتفاع ) = 2/ 4 × أ ×ب = 2 أب بالإضافة لمساحة المربع الداخلى جـ ² ، وتنتج مساحة المربع الخارجى بالرموز هى : ( أ + ب ) ² = 2أب + ج ² .
يمكنك أن تقرأ عن
أمثلة على مثلثات فيثاغورس المشهورة
مثال 1
أب ج هو مثلث قائم الزاوية ، ابحث عن طول الوتر ج علما بأن الضلعين أب = 3 ، وج أ = 4 .
الإجابة : ( طول الوتر )² = ( مربع الضلع الأول )² + ( مربع الضلع الثانى )²
بج ²= أب² + ب ج²
ب ج ²= 3² +4²
ب ج² = 9 + 16 = 25
وبعد حساب الجذر التربيعى : فإن ب ج = 5
مثال 2
أ ب ج هو عبارة عن مثلث أطوال أضلاعه 6 ، 12 ، 13 ، هل هو مثلث صحيح ؟
الإجابة : بناء على نظرية فيثاغورس ، فإن الضلع الذى طوله 13 هو الوتر إذا كان المثلث صحيح وفقا لما يلى :
13 ² = 169
6² + 12² = 36 + 144= 180
13²≠180
وتكون النتيجة أن هذا المثلث ليس صحيح
عكس نظرية مثلثات فيثاغورس المشهورة
تنص عكس النظرية : إذا كان لدينا مثلث مربع أطول ضلع فيه يساوى مجموع مربعى الضلعين الاخرين ، يكون المثلث قائم والزاوية المقابلة للضلع الأطول هى الزاوية القائمة .
مثال على ذلك :
يوجد مثلث أطوال أضلاعه : 5سم ، 12سم ،13سم هل المثلث قائم الزاوية ؟
الإجابة :
أطول ضلع لهذا المثلث و 13سم
13²= 169
الضلعين الأخرين
12²+ 5²= 25 + 144= 169
وحسب عكس نظرية مثلثات فيثاغورس المشهورة فإن هذا المثلث قائم
مثلثات فيثاغورس المشهورة .. وفى نهاية هذا المقال نكون قد تعرفنا على مثلثات فيثاغورس ، ونظرية فيثاغورس وأهميتها ، كما تعرفنا ايضا على المثلث قائم الزاوية ، وأهم الأمثلة لإثبات نظرية فيثاغورس وعكسها .